宝应元年六月望戊夜，月蚀三之一。官历加时在日出后，有交，不署蚀。代宗以《至德历》不与天合，诏司天台官属郭献之等嘉派先导学者。山西太原人，五世祖始迁江苏淮安。应试不，复用《麟德》元纪，更立岁差，增损迟疾、交会及五星差数，以写《大衍》旧术。上元七曜，起赤道虚四度。帝为制序，题曰《五纪历》。
其与《大衍》小异者九事，曰：仲夏之朔，若月行极疾，合于亥正，朔不进，则朔之晨，月见东方矣。依《大衍》，戌初进初朔，则朔之夕，月见西方矣。当视定朔小余不满《五纪》通法，如晨初余数减十刻已下者，进以明日为朔。一也。以三万二千一百六十乘夜半定漏刻，六十七乘刻分从之，二千四百而一，为晨初余数。二也。阳历去交分，交前加一辰，交后减一辰，余百八十三已下者，日亦蚀。三也。月蚀有差，以望日所入定数，视月道同名者，交前为加，交后为减；异名者，交前为减，交后为加，各以加减去交分。又交前减一辰，交后加一辰，余如三百三十八已下者，既。已上，以减望差，八十约之，得蚀分。四也。日蚀有差，以朔日所入定数，十五而一，以减百四，余为定法。以蚀差减去交分。又交前减两辰，余为阴历蚀。其不足减者，反减蚀差。在交后减两辰，交前加三辰，余为类同阳历蚀。又自小满毕小暑，加时距午正八刻外者，皆减一辰；三刻内者，皆加一辰。自大寒毕立春，交前五辰外，自大暑毕立冬，交后五辰外，又减一辰。不足减者，既。加、减讫，各如定法而一，以减十五，余为蚀分。其阳历蚀者，置去交分，以蚀差加之。交前加一辰，交后减一辰。所得，以减望差，余如百四约之，得为蚀分。五也。所蚀分，日以十八乘之，月以二十乘之，皆十五而一，为泛用刻，不复因加。六也。日蚀定用刻在辰正前者，以十分之四为亏初刻，六为复末刻。未正后者，六为亏初刻，四为复末刻。不复相半。七也。五星乘数、除数，诸变皆通用之，不复变行异数。入进退历，皆用度中率。八也。以定合初日与前疾初日、后疾初日与合前伏初日先后定数，各同名者，相消为差；异名者，相从为并。皆四而一。所得满辰法，各为日。乃以前日盈减、缩加其合后伏日变率，亦以后日盈加、缩减合前伏日变率。太白、辰星夕变，则返加减留退。二退度变率，若差于中率者，倍所差之数，曰伏差，以加减前疾日度变率。荧惑均加减前疾两变日度变率。岁星、荧惑、镇星前留日变率，若差于中率者，以所差之数为度，加减前迟日变率。皆多于中率之数者，加之；少于中率者，减之。后留日变率，若差于中率者，以所差之数为日，以加减后迟日变率及加减二退度变率。又以伏差加减后疾日度变率。多于中率之数者，减之；少于中率者，加之。其荧惑均加减疾迟两变日度变率。岁星、镇星无迟，即加减前后顺行日度变率。太白晨夕退行度变率，若差于中率者，亦倍所差之数为度，加减本疾度变率。夕合前、后伏，虽亦退行，不取加、减。二留日变率，若差于中率者，以所差之数为度，加减本迟度变率。皆多于中率之数加之，少于中率减之。其辰星二留日变率，若差于中率者，以所差之数为度，各加、减本迟度变率。疾行度变率，若差于中率者，以所差之数为日，各加、减留日变率。亦多于中率之数者，加之；少于中率者，减之。其留日变率，若少不足减者，侵减迟日变率。加减讫，皆为日度定率。九也。

《大衍》以四象考五星进退，或时弗叶。献之加减颇异，而偶与天合。于是颁用，讫建中四年。

《宝应五纪历》演纪上元甲子，距宝应元年壬寅，积二十六万九千九百七十八算。
《五纪》通法千三百四十。

策实四十八万九千四百二十八。

揲法三万九千五百七十一。
策余七千二十八。

用差七千五百四十八。

挂限三万八千三百五十七。

三元之策十五，余二百九十二，秒五；秒母六。以象统为母者，以四因之。

四象之策二十九，余七百一十一。

一象之策七，余五百一十二太。

天中之策五，余九十七，秒十五；秒母十八。

地中之策六，余百一十九，秒四；秒母三十。

贞悔之策三，余五十八，秒十七。

辰法三百三十五。

刻法百三十四。

干实四十八万九千四百四十二，秒七十。

周天度三百六十五，虚分三百四十二，秒七十。

岁差十四，秒七十。
秒法百。

定气所有日及余，以辰计之，曰辰数，与《大衍》同。

六虚之差七，秒七十。

转终分百三十六万六千一百五十六。
转终日二十七，余七百四十三，秒五。
秒法三十七。

转法六十七。约转分为度，曰逡程。积逡程，曰转积度。

七日初，千一百九十一。末，百四十九。十四日初，千四十二。末，二百九十八。

二十一日初，八百九十二。末，四百四十八。二十八日初，七百四十三。末，五百九十七。

半纪六百七十。

象积四百八十。

辰刻八刻，分百六十。

昏明刻各二刻，分二百四十。

交终三亿六千四百六十四万三千七百六十七。

交终日二十七，余二百八十四，秒三千七百六十七。

交中日十三，余八百一十二，秒千八百八十三半。

朔差日二，余四百二十六，秒六千二百三十三。

望差日一，余二百一十三，秒三千一百一十六半。

望数日十四，余千二十五，秒五千。

交限日十二，余五百九十八，秒八千七百六十七。

交率六十一。

交数七百七十七。凡春分后阴历交后，秋分后阳历交后，为月道同名。余皆为异名。

辰分百一十三。

秒法一万。

去交度乘数十一，除数千一百六十五。

太阴损益差：冬至、夏至，益十九，积七十六；小寒、小暑，益十六，积九十五；大寒、大暑，益十四，积百一十一；立春、立秋，益十二，积百二十五；雨水、处暑，益十，积百三十七；惊贽、白露，益七，积百四十七；春分、秋分，损七，积百五十四。清明、寒露，损十，积百四十七；谷雨、霜降，损十二，积百三十七；立夏、立秋，损十四，积百二十五；小满、小雪，损十七，积百一十一；芒种、大雪，损十九，积九十五；依定气求朓朓术入之，得其望日所入定数。

太阳每日蚀差：月在阴历，自秋分后、春分前，皆以四百五十七为蚀差；入春分后，日损五分；入夏至初日，损不尽者七；乃自后日益五分。月在阳历，自春分后、秋分前，亦以四百五十七为蚀差；入秋分后，日损五分，入冬至初日，损不尽者七；乃自后日益五分。各得朔日所入定数。
○岁星终率五十三万四千四百八十二，秒三十六。
终日三百九十八，余千一百六十二，秒三十六。

变差十四，秒八十八。

象算九十一，余百五，秒十八。

爻算十五，余七十三，秒四十六，微分三十二。

乘数五。

除数四。

荧惑。

终率百四万五千八十八，秒八十三。
终日七百七十九，余千二百二十八，秒八十三。
变差三十二，秒五十七。
象算九十一，余百六，秒二十八，微分五十四。
爻算十五，余七十三，秒五十四，微分七十三。

乘数百二十七。

除数三十。

○镇星

终率五十万六千六百二十三，秒二十九。

终日三百七十八，余百三，秒二十九。
变差九，秒八十七。

象算九十一，余百四，秒八十六，微分六十六。

爻算十五，余七十三，秒三十一，微分十一。
乘数十二。

除数十一。

○太白

终率七十八万二千四百四十九，秒九。
终日五百八十三，余千二百二十九，秒九。

中合二百九十二，余千二百八十四，秒五十九，微分七十二。

变差四十九，秒七十二。

象算九十一，余百七，秒三十五，微分七十二。

爻算十五，余七十三，秒七十二，微分六十。

乘数十五。
除数二。

○辰星终率十五万五千二百七十八，秒六十六。

终日百一十五，余千一百七十八，秒六十六。

中合五十七，余千二百五十九，秒三十三。

变差五十，秒八十五。

象算九十一，余百七，秒四十二，微分七十八。

爻算十五，余七十三，秒七十三，微分七十七。

秒法百。

微分法九十六。

德宗时，《五纪历》气朔加时稍后天，推测星度与《大衍》差率颇异。诏司天徐承嗣与夏官正杨景风等，杂《麟德》、《大衍》之旨治新历。上元七曜，起赤道虚四度。建中四年历成，名曰《正元》。其气朔、发敛、日躔、月离、轨漏、交会，悉如《五纪》法。惟发敛加时无辰法，皆以象统乘小余，通法而一，为半辰数。余五因之，六刻法除之，得刻。不尽，六而一，为刻分。其轨漏夜半刻分以刻法准象积取其数用之，以刻法通夜半定漏刻，内分，二十而一，为晨初余数。月蚀去交分，如二百七十九已下者，既。已上，以减望差，六十六约之，为蚀分。日蚀差亦十五约之，以减八十五，余为定法。又加减去交分讫，以减望差，八十五约之，得蚀分。日法不同也。其五星写《麟德历》旧术，因冬至后夜半平合日算，加合后伏日及余，即平见日算。金、水先得夕见；其满晨见伏日及余秒去之，余为晨平见。求入常气，以取定见而推之。《麟德历》之启蛰，《正元历》之雨水；《麟德历》之雨水，《正元历》之惊蛰也。《麟德历》荧惑前、后疾变度率，初行入气差行，日益迟、疾一分，《正元历》则二分，亦度母不同也。诏起五年正月行新历。会硃泚之乱，改元兴元。自是颁用，讫元和元年。

《建中正元历》演纪上元甲子，距建中五年甲子，岁积四十万二千九百算外。

《正元》通法千九十五。

策实三十九万九千九百四十三。
揲法三万三千三百三十六。

章闰万一千九百一十一。
策余五千七百四十三。

用差六千一百六十八。

挂限三万一千三百四十三。

三元之策十五，余二百三十九，秒七。

四象之策二十九，余五百八十一。
一象之策七，余四百一十九。

中盈分四百七十八，秒一十四。

朔虚分五百一十四。
象统二十四。
象位六。

天中之策五，余七十九，秒五十五；秒母七十二。
地中之策六，余九十五，秒四十三；秒母六十。

贞悔之策三，余四十七，秒五十一半。

刻法二百一十九。六刻法千三百一十四。
干实三十九万九千九百五十五，秒二。

周天度三百六十五，虚分二百八十，秒二。

岁差十二，秒二。

秒母百。

定气辰数同《大衍》。
六虚之差六，秒二十。

转终分三亿一百七十二万一百三十二。

转终日二十七，余六百七，秒百三十二。

入转秒法一万。

转法二百一十九。约转分为度，曰逡程。积逡程，曰转积度。

七日：初九百七十三，末百二十二。

十四日：初八百五十一，末二百四十四。

二十一日：初七百二十九，末三百六十六。

二十八日：初六百七，末四百八十八。
辰刻八刻，分七十三。

刻法二百一十九。

昏明刻各二刻，分百九半。

交终分二亿九千七百九十七万三千八百一十五。

交终日二十七，余二百三十二，秒三千八百一十五。
交中日十三，余六百六十三，秒六千九百七半。

朔差日二，余三百四十八，秒六千一百八十五。

望差日一，余百七十四，秒三千九十二半。

望数日十四，余八百三十八。

交限日十二，余四百八十九，秒三千八百一十五。

交率六十一。
交数七百七十七。
交辰法九十一少。

秒法一万。
去交度乘数十一，除数九百四十五。

太阴损益差：冬至、夏至，益十六，积六十二。小寒、小暑，益十三，积七十八。大寒、大暑，益十一，积九十一。立春、立秋，益十，积百二。雨水、处暑，益八，积百一十二。惊蛰、白露，益六，积百二十。春分、秋分，损六，积百二十六。清明、寒露，损八，积百二十。谷雨、霜降，损十，积百一十二。立夏、立冬，损十一，积百二。小满、小雪，损十三，积九十一。芒种、大雪，损十六，积七十八。以损益依入定气求朓朒术入之，各得其望日所入定数。

太阳每日蚀差：月在阴历，自秋分后、春分前，皆以三百七十三为蚀差，入春分后，日损四分；入夏至初日，损不尽者六；乃自后日益四分。月在阳历，自春分后、秋分前，亦以三百七十三为蚀差；入秋分后，日损四分；入冬至初日，损不尽者六；乃自后日益四分：各得朔日所入定数。
○岁星

终率四十三万六千七百六十，秒四。

终日三百九十八，余九百五十，秒四。
合后伏日十七，余千二十三。

○荧惑

终率八十五万四千七，秒七十九。

终日七百七十九，余千二，秒七十九。

合后伏日七十一，余千四十九。

○镇星

终率四十一万三千九百九十四，秒六十三。
终日三百七十八，余八十四，秒六十三。

合后伏日十八，余五百九十。

○太白

终率六十三万九千三百八十九，秒二十八。

终日五百八十三，余四，秒二十八。
晨合后伏日四十一，余九百一十五。

夕见伏日二百五十六，余五百二，秒一十四。

晨见伏日三百二十七，余五百二，秒一十四。

○辰星

终率十二万六千八百八十八，秒四半。

终日百一十五，余九百六十三，秒四半。
晨合后伏日十六，余千四十。

夕见伏日五十二，余四百八十一，秒五十二少。

晨见伏日六十三，余四百八十一，秒五十二少。

秒法一百。

五星平见加减差。

○岁星

初见，去日十四度，见。入冬至，毕小寒，均减六日。自入大寒后，日损百九分半。入春分初日，依平。自后日加百四十五分半。入立夏，毕小满，均加六日。自入芒种后，日损百四十五分。入夏至，毕立秋，均加四日。自入处暑后，日损二百九十一分半。入白露初日，依平。自后日减八十七分。入小雪，毕大雪，均减六日。

○荧惑初见，去日十七度，见。入冬至初日，减二十七日。自后日损九百八十五分半。入大寒初日，依平。自后日加六百五十七分。入惊蛰，毕谷雨，均加二十七日。自入立夏后，日损三百二十三分。入立秋，依平。自入处暑后，日减三百二十三分。入小雪，毕大雪，均减二十七日。
○镇星

初见，去日十七度，见。入冬至初日，减四日。自后日益百四十五分半。入大寒，毕春分，均减八日。自入清明后，日损九十六分。入小暑初日，依平。自后日加百四十五分半。入白露初日，加八日。自后日损二百九十一分。入秋分，均加四日。自入寒露后，日损九十六分。入小雪初日，依平。自后日减百四十五分半。

○太白

初见，去日十一度。夕见：入冬至初日，依平。自后日减百六十三分。入雨水，毕春分，均减九日。自入清明后，日减百六十三分。入芒种，依平。自入夏至，日加百六十三分。入处暑，毕秋分，均加九日。自入寒露后，日损百六十三分。入大雪，依平。晨见：入冬至，依平。入小寒后，日加百九分半。入立春，毕立夏，均加三日。入小满后，日损百九分半。入夏至，依平。入小暑后，日减百九分半。入立秋，毕立冬，均减三日。入小雪后，日损百九分半。
○辰星初见，去日十七度。夕见：入冬至，毕清明，依平。入谷雨，毕芒种，均减二日。入夏至，毕大暑，依平。入立秋，毕霜降，应见不见。其在立秋及霜降二气之内者，去日十八度外，三十六度内，有水、火、土、金一星已上者，见。入立冬，毕大雪，依平。晨见；入冬至，均减四日。入小寒，毕雨水，均减三日。其在雨水气内，去日度如前，晨无水、火、土、金一星已上者，不见。入惊蛰，毕立夏，应见不见。其在立夏气内，去日度如前，晨有水、火、土、金一星已上者，亦见。入小满，毕寒露，依平。入霜降，毕立冬，均加一日。入小雪，毕大雪，依平。
○五星变行加减差日度率△岁星前顺：差行。百一十四日，行十八度九百七十一分。先疾，二日益迟三分。

前留：二十六日。

前退：差行。四十二日，退六度。先迟，日益疾二分。
后退：差行。四十二日，退六度。先疾，日益迟二分。

后留：二十五日。

后顺：差行。百一十四日，行十八度九百七十一分。先迟，二日益疾三分。日尽而夕伏。

△荧惑

前疾：入冬至初日，二百四十三日行百六十五度。自后三日损日度各二。小寒初日，二百三十三日行百五十五度。自后二日损日度各一。谷雨四日，依平。毕小满九日，百七十八日行百度。自九日后，三日损日度各一。夏至初日，依平。毕六日，百七十一日行九十三度。自六日后，每三日益日度各一。立秋初日，百八十四日行百六度。自后每日益日度各一。白露初日，二百一十四日行百三十六度。自后五日益日度各六。秋分初日，二百三十二日行百五十四度。自后每日益日度各一。寒露初日，二百四十七日行百六十九度。自后五日益日度各三。霜降五日，依平。毕立冬十三日，二百五十九日行百八十一度。自入十三日后，二日损日度各一。
前迟：差行。入冬至，六十日行二十五度；先疾，日益迟三分。自入小寒后，三日损日度各一。大寒初日，五十五日行二十度。自后三日益日度各一。立春初日，毕清明，平，六十日行二十五度。自入谷雨，每气损度一。立夏初日，毕小满，平，六十日行二十三度。自入芒种后，每气益一度。夏至初日，平。毕处暑，六十日行二十五度。自入白露后，三日损度一。秋分初日，六十日行二十度。自后每日益日一，三日益度二。寒露初日，七十五日行三十度。自后每日损日一，三日损度一。霜降初日，六十日行二十五度。自后二日损度一。立冬一日，平。毕气末，六十日行十七度。自小雪后，五日益度一。大雪初日，六十日行二十度。自后三日益度一。
前留：十三日前疾减一日率者，以其差分益此留及迟日率。前疾加日率者，以其差分减此留及后迟日率。

退行：入冬至初日，六十三日行二十二度。自后四日益度一。小寒一日，六十三日行二十六度。自入小寒一日后，三日半损度一。立春三日，平。毕雨水，六十三日退十七度。自入惊蛰后，二日益日度各一，惊蛰八日，平。毕气末，六十七日退二十一度。自入春分后，一日损日度各一。春分四日，平。毕芒种，六十三日退十七度。自入夏至后，每六日损日度各一。大暑初日，平。毕气末，五十八日退十二度。立秋初日，平。毕气末，五十七日退十一度。自入白露后，二日益日度各一。白露十二日，平。毕秋分，六十三日退十七度。自入寒露后，三日益日度各一。寒露九日，平。毕气末，六十六日退二十度。自入霜降后，二日损日度各一。霜降六日，平。毕气末，六十三日退十七度。自入立冬后，三日益日度各一。立冬十二日，平。毕气末，六十七日退二十一度。自入小雪后，二日损日度各一。小雪八日，平。毕气末，六十三日退十七度。自入大雪后，三日益度一。

后留：冬至初日，十三日。大寒初日，平。毕气末，二十五日。自入立春后，二日半损一日。惊蛰初日，十三日。自后三日益日一。清明初日，三十三日。自后每日损日一。清明十日，平。毕处暑，十三日。自入白露后，二日损日一。秋分十一日，无留。自入秋分十一日后，日益日一。霜降初日，十九日。立冬毕大雪，十三日。

后迟：差行。六十日行二十五度。先迟，日益疾三分，前疾加度者，此迟依数减之为定。若不加度者，此迟入秋分至立冬减三度，入立冬到冬至减五度，后留定日十三日者，以所朒数加此迟日率。

后疾：冬至初日，二百一十日行百三十二度。自后每日损日度各一。大寒八日，百七十二日行九十四度。自入大寒八日后，二日损日度各一。雨水，平。毕气末，百六十一日行八十三度。自入惊蛰后，三日益日度各一。谷雨三日，百七十七日行九十九度。自三日后，每日益日度各一。芒种十四日，平。毕夏至十日，二百三十三日行百五十五度。自十日后，每日益日度各一。小暑五日，二百五十三日行百七十五度。自后每日益日度各一。大暑初日，平。毕处暑，二百六十三日行百八十五度。自入白露后，二日损日度各一。秋分一日，二百五十五日行百七十七度。自一日后，每三日损日度各一。大雪初日，二百五日行百二十七度。自后三日益日度各一。

△镇星前顺：差行。八十三日，行七度四百七十四分。先疾，三日益迟二分。

前留：三十七日。

前退：差行。五十一日，退三度。先迟，二日益疾一分。
后退：差行。五十一日，退三度。先疾，二日益迟一分。

后留：三十六日。

后顺：差行。八十三日，行七度四百七十四分。先迟，三日益疾二分。

△太白夕见：入冬至，毕立夏，立秋毕大雪，百七十二日行二百六度。自入小满后，十日益度一，为定初。入白露，毕春分，差行；先疾，日益迟二分。自余平行。夏至毕小暑，百七十二日行二百九度。自入大暑后，五日损一度，毕气末。
夕平行：冬至及大暑、大雪各毕气末，十三日行十三度。自入冬至后，十日损一，毕立春。入立秋，六日益一，毕秋分。雨水毕芒种，七日行七度。自入夏至后，五日益一，毕小暑。寒露初日，二十三日行二十三度。自后六日损一，毕小雪。

夕迟：差行。四十二日行三十度。先疾，日益迟十三分。前加度过二百六度者，准数损此度。

夕留：七日。

夕退：十日，退五度。日尽而夕伏。

晨退：十日，退五度。

晨留：七日。

晨迟：差行。冬至毕立夏，大雪毕气末，四十二日行三十度；先迟，日益疾十三分。自小满后，率十日损一度，毕芒种。夏至毕寒露，四十二日行二十七度；差依前。自入霜降后，每气益一度，毕小雪。

晨平行：冬至毕气末，立夏毕气末，十三日行十三度。自小寒后，六日益日度各一，毕雨水。入小满后，七日损日度各一，毕立秋。惊蛰初日，二十三日行二十三度。自后六日损日度各一，毕谷雨。处暑毕寒露，无此平行。自入霜降后，五日益日度各一，毕大雪。

晨疾：百七十二日，行二百六度。前迟行损度不满三十者，此疾依数益之。处暑毕寒露，差行；先迟，日益疾二分。自余平行。日尽而晨伏。

△辰星夕见疾：十二日，行二十一度十分。大暑毕处暑，十二日，行十七度十六分。

夕平：七日，行七度。自入大暑后，二日损度各一。入立秋，无此平行。
夕迟：六日，行二度七分。前疾行十七度者，无此迟行。
夕伏留：五日。日尽而夕伏。

晨见留：五日。

晨迟：六日，行二度七分。自入大寒，毕雨水，无此迟行。

晨平行：七日，行七度。入大寒后，二日损日度各一。入立春，无此平行。

晨疾；十二日，行二十一度十分。前无迟行者，十二日，行十七度十六分。日尽而晨伏。